同時確率とは　条件付き確率とは

・In English

■同時確率とは

同時確率とは、ある確率の事象XとYが同時に起きる確率のことで、以下の様に全事象(青枠)に対する斜線部分です。∩はキャップとよみます。



■例
サイコロを二つ同時に振ってどちらも1が出る確率は?

■解答

■条件付き確率とは

条件付確率とは、ある事象が起こる前提のもとで、別のある事象が起こる確率のことです。 例えばYが起こったという前提でXが起こる確率は以下の様に表現します。Yの事象(青枠)に対する斜線部分です。「|」はバーチカルバー(Vertical bar:縦棒の意)といいます。 全体としては「probability of X given Y」と読みます。



■例
サイコロを二回振って出た目の和が9以上になる確率は?　ただし一回目に出た目は5とする。

■解答


となります。上記例の場合、2回目のサイコロが4以上になる確率P(X)を求めるだけで答えになるのが直感的に解るので、 この公式の必要性が感じられないかもしれません。しかし以下の場合はどうでしょうか。

■例
ある夫婦には子供が二人いて、二人のうち少なくても一人は男の子であることが分かった。この時二人とも男の子である 確率は？　ただし、男と女が生まれる確率はそれぞれ1/2である。

■解答


となり、今度は公式を使った方が解りやすく求めることが出来ると思います。更に次の場合でも公式を使った方が良い例となります。

■例(有名な問題です)
国民の1%が罹っている病気がある。この病気に罹っているか否か検査する際、10%の確率で正常にも拘わらず陽性と誤判断し、 10%の確率で病気にも拘わらず陰性と誤判断してしまう。ここである人が陽性と判断された場合、本当に病気にかかっている確率は?

■解答
先ずは図で理解するのが良いと思います。


となります。それでは図を理解した上で実際に計算してみます。


となります。つまり陽性と判断されても、約8%の確率でしか本当に病気になっていない事が分かります。 陽性の場合、90%の確率で本当に病気なのだから、もっと高い確率で病気になっているのではないかと思うかもしれませんが、 病気ではないのに陽性と判断された人の方が実は多いので、割合としては低くなるのです。

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