逐次ベイズ推定、ベイズ更新とは

こちらでベイズの定理を説明しましたが、この定理を使った逐次ベイズ推定の方法を説明します。

逐次ベイズ推定とは、情報が随時アップデートされる場合において、推定値もそれに合わせて更新していき推定の精度を高めていくというものです。これは、リアルタイムでデータ処理する必要のある場合において非常に有効な方法となります。またこの方法をベイズ更新(Bayesian updating)ともいいます。

具体的な方法は例題を使って説明していきます。
■例題
白と黒の玉がたくさん入っている箱が二つあり、これをY₁、Y₂と付けます。白と黒の玉が入っている比率は、Y₁は2対1、Y₂は1対2となっている。これを目隠しでどちらか選び、箱の中から一つ玉を取り出す作業を3回行ったところ、黒、黒、白だった。これがY₂の箱から取り出した確率は？

■回答
1回ずつ玉を引いた時点でY₂から選んだ確率を推定していきます。式は以下のとおり。

＜黒を引いた場合＞

＜白を引いた場合＞

1回目(黒を引いた)

上記を(1)式に代入すると、

となります。これで最初の確率(事前確率)より、黒を引いたという情報を得た場合の確率(事後確率)の方が確率が上がっていることがわかります。

2回目(黒を引いた)
1回目と同様の計算をしますが、1回目と異なるのは1回目で求めた事後確率である「Y2である確率」が2回目の計算としては事前確率として扱います。 (1回目のYを選ぶ事前確率は1/2として扱いました)。

上記を(1)式に代入すると、

となり、1回目の時に比べ更に箱がY2である確率が高まりました。

3回目(白を引いた)
2回目と同様の計算ですが、今回は白を引いてますので若干計算が変わります。

(2)式に代入して

となり、2回目の時よりY2である確率が下がりました。この様に情報がアップデートされるたびに逐次推定を行うのが逐次ベイズ推定というものになります。なお玉を引いたのが、白、黒、黒の順であったとしても最終的な答えは変わりません。これを逐次合理性といいます。

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