正規分布, ガウス分布とは　標準化と正規化の違い

前提知識
　・標準偏差
　・ガウス関数の積分方法

■正規分布(Nomal distribution)とは

正規分布とは、自然界における最も標準的(Normal)な分布といわれており、以下特性を持った確率分布となり。 例えば、10歳男児の身長の分布、テストの点数の分布、ボルトの長さの分布など、正規分布で表されると考えられてます。ガウス分布またはベルシェイプ(釣鐘型)などとも言います。

　①平均値と最頻値と中央値が一致し、そこが最も確率が高い。
　②平均値から左右対象に広がっていく。
　③分散が大きくなると山の形は低く、なだらかとなる。

確率密度関数は以下。σ(シグマ)は標準偏差といい分布のバラツキ具合を表すために用います。μは平均値、σの二乗が分散で、 μ=0、σ=1のときの分布を標準正規分布といいます。



なお正規分布を以下の様にも表現します。


また所定区間内の面積比率(データ存在確率)は以下の様になっており、例えば1σ内だと68%となります。



＜補足＞
確率密度関数の指数部分ではない項は、面積の総和が1にするための補正項となります(詳細はこちら)。 従って分布の形を決定する要素(平均値、分散)は変わらないのでグラフの形は相似形になります。

■標準化(standardization)とは

正規分布に従うデータを、標準正規分布に従うデータに変換する事を標準化といい、以下式で表します。



標準化する事で、異なるμ、σをもつ母集団の特性を比較するのを容易にします。例えば、以下の様に自分の算数と国語のテストの点数が どちらが良い結果であるかを知るときは標準化すると便利です。



上記のとおり、算数の方が分布のより右側にいるので、算数の方が良い点であることが解ります。

■正規化(normalization)とは

標準化と混同しやすい言葉に"正規化"があります。正規化はデータを一定のルールに基づいて整形する事で、例えば0～1の範囲に変換する場合、以下式で表すことがあります。 (正規化するやり方はいくつかあります)



先ほどの例について正規化すると以下となります。

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