微分積分
・ 微分公式
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・ 部分積分
・ 微分方程式
・ ガウス関数の積分公式
複素数
・ 複素数とは
・ 複素数を使う意味
フーリエ変換
・ フーリエ変換, FFTとは
・ FFTの原理
ラプラス変換
・ ラプラス変換とは
・ ラプラス変換の役割
線形代数
・ 行列を使う目的, 定義
・ 逆行列 , 行列式
・ 行列の積
・ 転置行列
・ 行列の微分
・ 固有値
・ ベクトルの内積
・ ベクトルの外積
・ ベクトル場
・ コサイン類似度
・ 集合
・ 写像
・ 連立方程式を解く
指数 対数
・ 対数関数
・ 指数関数 , べき関数
・ デシベル
・ ネイピア数
その他
・ 三角関数
・ 素数
・ 階乗計算, ガンマ関数
・ arctan ,tanhの違い
・ 総和 Σ, 総乗 Π
・ ∇, grad, div, rot
・ 等差数列
・ 有理関数のマクローリン展開
・ ニュートン法
・ 重心
・ 2乗に比例する関数
・ ラグランジュの未定乗数法
・ マンハッタン,ユークリッド
・ 帰納法, 演繹法
・ 背理法
・ 弧度法
・ スプライン曲線
・ フィボナッチ数列
・ 複利計算
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前提知識
・複利計算
■ネイピア数とは
ネイピア数とは自然対数の底で、eで表現します。ジョン・ネイピア(1550-1617)にちなんで名づけられていますが、eと表現したのはレオンハルト・オイラーで、指数関数(exexponential)のeから名付けたとも、オイラー(Euler)のeから名付けたとも言われています。
eは無理数で以下のとおりです。
■ネイピア数の成り立ち
ネイピア数は複利計算の過程で生まれたとされています。複利計算は以下式で表すことができます。
ここで、便宜的に年利を100%とおき、複利を1年複利、半年複利、3か月複利と利息が付くまでの期間をどんどん短くしていくと、得る事のできる金額が大きくなることが分かります。
それでは、得る事のできる金額の最大値はどうなるでしょうか。これはnを無限大にした時の値となりますが、この時の最大値がネイピア数となります。
■ネイピア数の用途
ネイピア数は自然界でもよく表れます。ネイピア数を指数の底として扱った以下の様な関数がありますが、これは一次遅れ系のシステムを表しています(こちらを参照)。
青線は、例えば物体の自然放熱による温度変化を表すことができます。また赤線は、コイルを持つ電気回路の電流の一次遅れの特性を表すことができます。
その他には、正規分布、シグモイド関数、フーリエ変換などがあります。
自然対数のグラフは以下のとおり。用途は機械学習の誤差関数などに用いられます。
サブチャンネルあります。⇒ 何かのお役に立てればと
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