転置行列とは　使用例

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前提知識
　・行列の積

■転置行列とは

転置行列とは、以下のように行列Aの行と列を入れ替えた行列のことをいいます。A^Tと表します。

■転置行列の性質

以下が成り立ちます。ただしX,Yは積が可能なサイズの場合。






trとはトレースといい、行列の対角和になります。

また行列が対称行列の場合、以下となります。

■転置行列の役割

転置行列を利用する一例を紹介します。
行列と転置行列の積は二乗和になります。



この時、x_iを何かしら基準からの誤差とおけば残差平方和となり、最小二乗法の計算に役立ちます。

また、以下の様にすると各項に重み付けをした形となり、現代制御の最適レギュレータの設計の際に役立ちます。

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