ニュートン法

前提知識

■ニュートン法とは
例えば以下関数があったとします。


この式のy=0になる場合のxの値は以下となります。


この√2という値は、解として求まったかのように思われますが、まだきちんとした数値にはなっていません。1.41421と知っている人は多いかと思いますが、これはただ単に暗記していたにすぎません。 数学的に考えると√1と√4の間、すなわち1と2の間にある事は解ります。このf=0の解(今回の場合は√2の解)を近似的に求める手法をニュートン法といいます。

■ニュートン法の考え方
任意のx₁におけるf(x₁)の接線のx軸との交点x₂は、x₁よりf(x)=0の解に近くなる。

というものです。どういうことか、以下の図を見るとわかると思います。この様に、次はf(x₂)の接線のx軸の交点を求めて、 それを繰り返すことによりf(x)=0の解に近づけることが出来ます。


■ニュートン法を一般解で表現する
f(x₁)の接線の式はf(x₁)の微分となるので、


となります。

■具体例
上記式における解をニュートン法を用いて求めてみます。(1)式より、


ここでx_nの値を適当に決めるとして、x_n=2とします。(1)(3)を(2)に代入して、


これを繰り返し計算すると、


となり、繰り返し計算すればするほど真値に近づくのが解ります。

■ニュートン法の応用
＜応用①＞
f(x)=0のxの解だけではなく、f(x)=1の時のようなxの値も求めることが出来ます。式を以下の様にします。


上記式においてf(x)=0の解を求めれば良いです。そこからは先ほど説明したニュートン法のとおりです。

＜応用②＞
以下の様な変曲点の値を求めたい場合は、微分した結果のf'(x)=0をニュートン法で解けば求まります。


＜応用③＞
式の形が解らなくても、入力を与えた時の出力結果が解れば、微小な変化幅の2点の入力を与えた結果から接線の傾きを求めることが出来ます。


具体的に計算してみます。



となり、先ほど求めた結果とほぼ等しくなることが分かります。

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