コサイン類似度とは　ベクトルの内積と共分散の関係

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前提知識
　・ベクトルの内積
　・共分散

■コサイン類似度とは

コサイン類似度とは、二つのベクトルの向きがどれくらい同じ方向に向いているか、その類似度をベクトルの内積を用いて表した指標です。 サンプルデータをベクトルに置き換え、コサイン類似度を求めることで、データの類似性を見出すことができます。 コサイン類似度の使用例として、自然言語処理において単語や文章をベクトル化することで、その類似度を測る場合や、サンプルデータの類似度から回帰分析(ex:カーネル回帰)する際などにも使用されます。

内積と共分散の関係を理解すると、何故内積でベクトルの類似度が測ることができるのかイメージできます。

■ベクトルの内積と共分散の関係性

＜ベクトルの内積＞

以下のように定義されます。



ここで、以下のとおり式変形します。



＜共分散＞

相関係数rは共分散を用いて以下のように定義されます。rが1に近づくほど、サンプルxとyが類似している事を意味します。



＜コサイン類似度＞

(3)式と(5)式を比較すると、式の形が一致している事が分かります。つまり、cosθは相関係数rに相当し以下の関係になっているため、cosを求めることでデータの類似度を測ることができます。

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