固有ベクトル、固有値とは

固有値と固有ベクトルについて説明しますが、先ずはその前に行列とベクトルの関係について説明します。

■行列とベクトルの関係
行列はベクトルを表現する事が出来ます。例えば以下のとおり。


以下の様な行列はどうでしょうか？これをベクトルとして表現するのは難しいと思います。


これを以下の様に記載すると、上記行列に意味合いが与えられます。


これを図の様に示すと以下となります。つまり、(1)の行列はベクトルの方向を変える役割を持っている事になります。


■固有ベクトルと固有値
ここで以下の様に、元のベクトルの大きさは変わっても方向は変わらないような行列があります。その時の元のベクトルを固有ベクトルといい、 大きさの比率を固有値といいます。


これを一般化すると以下の様に表現できます。


固有ベクトル、固有値の導出方法
固有値は、行列Aが与えられた時の以下行列式を満たすλとなります。この様な式を固有方程式といいます。行列式についてはこちらを参照。


例題
一般的な問題例として、行列Aが与えられ、それに対する固有ベクトルと固有値を求めるのが多いようです。 以下の行列に対する固有ベクトルと、固有値を求めます。


回答
(3)式より、


より、


となり、固有値を求めることが出来ました。次に固有ベクトルを求めます。

λ=2の時、(2)式より


λ=3の時、(2)式より


となり、固有ベクトルも求めることが出来ました。以上を整理すると、



となります。

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