電気回路(RC回路)

前提知識
　・電気回路の基本
　・コンデンサの原理

下記RC回路にて、電圧V(t)を与えた時のコンデンサ間電圧Vc(t)の時間的変化を考えます。



■コンデンサの性質
コンデンサに溜まる電荷Qは以下式で表すことができます。詳細はこちらで説明。



上式のイメージは、コンデンサに電荷が溜まっていない時はコンデンサ間の電圧は小さくなり、電荷が溜まるに従い電圧が上昇し、電荷が容量一杯になるとその電圧はV(t)と等しくなり、回路の電圧降下が無くなるため 電流が流れなくなります。コンデンサ容量が大きい程、多くの電荷を蓄える事ができる為コンデンサ間電圧上昇は遅くなるので、電圧Vc(t)は容量Cに反比例し、流れた電流の積算値に比例するといえます。上式を変形すると以下となります。


また、電流iは電荷の時間当たりの変化なので、以下となります。


■RC回路の微分方程式の導出
キルヒホッフの法則より、回路全体の電圧の和は以下となります。


ここで抵抗間の電圧Vr(t)はオームの法則により以下。


(1)(4)を(3)に代入すると以下。


(5)式をi(t)について解くと以下。


これでも式としては完成されているのですが、一応微分方程式として表現します。(6)に(2)を代入。


■Scilabで設計
i(t)の動きをscilabで確認してみます。(6)をブロック図で表現すると以下。


こうしてみるとΣi(t)がまだ表現できていないですが、Σi(t)はi(t)の積分となるので、 i(t)があれば求めることが出来ます。それを表現すると以下になります。


これでi(t)を求めることが可能ですが、今回i(t)を求めたかった理由としては、コンデンサ間の電圧の振る舞いを 知りたかったからです。コンデンサ間の電圧Vc(t)は(1)式でしたので、それに照らし合わせて表現すると以下になります。 また、抵抗間の電圧Vr(t)も表現します。


これをScilabで表現すると以下になります。



■動作確認結果
シミュレーション結果と各パラメータは以下のとおり。
　・V = 1(V)
　・R = 2(Ω)
　・C = 0.5(F)



コンデンサ間の電圧は、電流の流れ始めは0ですが時間が経過するに従い電圧値は上昇します。これは低周波の電圧を通過する事を 意味し、このVc(t)の電圧を利用する回路をローパスフィルタと言います。

一方抵抗間の電圧は、電流が流れ始めた時は電流値が大きいので電圧値も高く、時間が経過するに従い電流が小さくなるので電圧も小さくなり 最終的には0に収束します。これは高周波の電圧を通過している事を意味し、 Vr(t)の電圧を利用する回路をハイパスフィルタと言います。


なおローパス/ハイパスフィルタの類似回路としてRL回路がありますが、RL回路には浮遊(寄生)抵抗、浮遊(寄生)容量があるため、 厳密に設計どうりのRL回路が作りづらいという難点があります。また一般的にコンデンサのほうがコストが安いです。よってRC回路を用いられることが多いようです。

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