ボード線図の書き方(1次遅れ系)

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1次遅れ系の伝達関数のボード線図の書き方を説明します。(参照:ボード線図の書き方の基本)

■1次遅れ系の伝達関数

以下のとおり。


(1)式にs=jωを代入し以下の様に式変形します。

■1次遅れ系の伝達関数を複素平面上に表現

(2)式を以下の様に複素平面上に表現します。G(jω)の絶対値と角度を求めることでボード線図を書くことができます。

■1次遅れ系の伝達関数のゲイン特性

ゲイン特性はデシベルの計算となるため、以下となります。



上記式はωの値によって特性が変わるので、場合分けをします。

■ω<<1 (1より十分小さい)のとき
(3)式より、


■ω=1のとき


■ω>>1(1より十分大きい)のとき



＜ボード線図＞
以上を踏まえるとボード線図は以下となります。ゲインが-3dBとなるような周波数をカットオフ周波数といいます。

■1次遅れ系の伝達関数の位相特性

位相特性は複素平面上で考えると解り易いです。これもωの値によって特性が変わりますので、場合分けを行います。

■ω<<1 (1より十分小さい)のとき
虚数成分が0となり実数軸上にのるため、位相は0°となります。



■ω=1のとき
実数と虚数の値が同じになるため、実数軸に対する角度は45°です。位相としては45°遅れる形となります。



■ω<<1 (1より十分小さい)のとき
ωが大きくなればなるほど虚数軸に近くなり、最終的には90°に収束します。




＜ボード線図＞
以上を踏まえるとボード線図は以下となります。

■1次遅れ系の特性をシミュレーションで確認

ω=1[rad/s]の時の結果を以下に示します。黒線が入力、緑線が出力となります。(scilabの使い方についてはこちらを参照。)

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