倒立振子の運動方程式

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・倒立振子

公開日:2020/6/1　　　　　　　　　　

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前提知識
　・ラグランジュの運動方程式
　・エネルギーの求め方
　・微分の公式

■ 倒立振子の運動方程式をラグランジュ方程式で求める

以下のような倒立振子の運動方程式をラグランジュの運動方程式により求めます。ラグランジュの運動方程式とは物体のエネルギーで表現する事で、古典力学なアプローチより簡単に運動方程式を求める事ができます。

ラグランジュの運動方程式は以下であるため、先ずは運動エネルギーと位置エネルギーを求めます。

＜運動エネルギー＞
① 台車の運動エネルギー

② 倒立振子の運動エネルギー

③全体の運動エネルギー

＜位置エネルギー＞

＜ラグランジュ運動方程式＞

　※ 上記は積の微分と合成関数の微分を使用している。

以上より、(6)(8)式が倒立振子の運動方程式/微分方程式となる。

＜線形化近似＞
上記運動方程式にはsinとcosが入っており非線形となっており扱いづらいので、近似する事で線形化します。θが十分小さい時、以下が成り立ちます。

従って(9)式は以下となります。