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伝達関数の特性を知るためのツールとしてボード線図があります。このボード線図の書き方を説明します。
伝達関数についての説明はこちら。
ボード線図は周波数に対する特性を示したものです。横軸を周波数ω(rad/s)として縦軸を大きさ(dB:デシベル)としたときのゲイン特性、横軸を同じく周波数、縦軸を位相としたときの
位相特性という2つのグラフがあります。横軸は対数軸となります。デシベルについての説明はこちら。
それでは最初に以下伝達関数を例に書き方を説明していきます。
■積分系
まずsというのは複素数を表していますので、一般的にはs=σ+jωと表せます(何故複素数なのかはこちらで説明)。
しかしボード線図を書く場合は、実数部のσは考慮せずs=jωとします。σを考慮しなくて良い理由は、実数部と虚数部がどのような性質を持っているか考える必要があります。
こちらで説明した様に、実数部は減衰成分を持っています。ボード線図は、入力に対する出力が安定した状態、
つまり時間が十分経過した状態を示すものですが、
減衰成分というのは安定前の状態、つまり時間が十分経過していない状態を意味しています。なので実数部を考慮せずs=jωとして考えてもよいのです。
それではs=jωとして、(1)式に代入すると以下となります。
＜複素平面上に表現＞
上記式を複素平面上に表すと大きさと位相がどうなっているか良く解ります。
実数軸を基準に時計回りは位相が進んでいる、反時計回りは位相が遅れていると定義します。従って今回の場合は位相は90度遅れております。また大きさは1/ωなので、これをデシベル(dB)で表現すると以下となります。(デシベルの説明はこちら。
＜ボード線図＞
以上を踏まえるとボード線図は以下の様になります。
＜シミュレーションで確認＞
サイン波を入力したときの応答を確認します。
■ω=1[rad/s]の場合
入力が黒線、出力が緑線となります。振幅は変わらず(0dB)、位相が90°遅れているのが解ります。
■ω=10[rad/s]の場合
振幅は1/10(-20dB)、位相はω=1の時と変わらず90°遅れているのが解ります。
以上でボード線図の書き方を説明しました。他の伝達関数については以下をクリック。
・1次遅れ系
・微分系、不完全微分系
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