フーリエ変換、高速フーリエ変換(FFT)とは



数学

公開日:2018/11/10          

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■フーリエ級数

周期的な信号ならば、どんな信号でも三角関数(sin , cos)を使って表現することができ、その時の関数をフーリエ級数といいます。式は以下のとおり。


■複素フーリエ級数

フーリエ級数は三角関数よりも複素数の指数関数を使った方が便利な場合があります。オイラーの公式より、



これを(1)式に代入すると、



■フーリエ変換(Fourier Transform:FT)

フーリエ級数が周期関数を扱うものに対して、フーリエ変換は非周期関数の周波数成分を表現したものとなります。 考え方は、非周期関数においても周期が無限大として扱ってしまえば、周期関数として扱えるという考えのものです。 式は以下のとおり。



■離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform:DFT)

実信号データをコンピュータなどに取り込む場合には信号が離散化されているので、上記で説明したフーリエ変換が使えません。 そこで離散化された信号をフーリエ変換する場合の手法が離散フーリエ変換となります。離散フーリエ変換の中でも、 演算を高速に行う手法を高速フーリエ変換(Fast Fourier Transform:FFT)といい、DFTと言えばFFTの事を指すことが多い気がします。 高速フーリエ変換の制約としては、データ個数が2のn乗個である必要があります(例えば128,256,512個など)。高速フーリエ変換の式は以下のとおり。



高速フーリエ変換後のイメージは以下。この様に時系列データに対してどの周波数成分が入っているかを解析する手法を、周波数分析またはスペクトル解析といいます。 具体例はこちらで説明。











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